第四章　油墨转移方程

第四节　W·F油墨转移方程的修正

　　沃尔在和费茨科所建立的油墨转移的数学模型假定：转移墨量的大小，首先与纸张接触油墨的面积大小有关；其次，在接触油墨的纸面部分，转移墨量的大小又与油墨在纸面的"机械投锚效应"和自由墨量因二次结合力而产生的分裂率有关。沃尔克与费茨科据此推导出W·F油墨转移方程，重写如下：
y(x)=F(x)·Y(x)

=F(x)·{bΦ(x)+f[x-bΦ（x)]

=(1-e^-kx)·{b-1-e^-x/b)+f[x-b(1-e^-x/b)]}


　　上述油墨转移的数学模型，与实际情况较为贴近，但在方程的推导中，对F(x)和Φ(x)变化规律的假设，或者所包含的因素较少，或者所采用的规律略嫌粗疏，这便影响了方程的精确程度。为弥补这些不足，有许多对W·F油墨转移方程进行修正的方法，下面介绍两种对F(x)修正的方法。

一、对F(x)的指数修正法

　　在推导W·F油墨转移方程的过程中，曾假定：dF(x)/dx与[1-F(x)]成正比。实际上，dF(x)/dx不仅与〔1－F（x）〕有关，而且直接与印版墨量x等其它因素有关。如果进一步把x考虑，且认为：dF(x)/dx与x成正比，则可建立微分关系
dF(x)/dx=2a²x[1-F(x)]　　(4-29)
式中，2a²为比例常数。分离变量，积分上式，得
ln[1-F(x)]=-a²x[1-F(x)]　　(4-30)
式中C为积分常数，当x＝0，F（x）＝0时，故C＝0，(4-30)式变为
F(x)=1-e^-a2x2　　(4-31)

　　用(4-31)式代替方程(4-15)中的F(x)＝1－e^－kx，得修正的W·F油量转移方程
y(x)=1-e^-a2x2)·{b(1-e^-x/b+f[x-b(1-e^-x/b)]}　　(4-32)

　　与(4-15)式中的参数ｋ相比较，(4-23)式中的参数a，不仅与纸张的印刷平滑度有关，而且与纸张对油墨的吸收性有关，是一个表示单位重量的油墨覆盖纸张面积能力的参数，与ｋ有同样的单位ｍ2/ｇ，叫油墨覆盖力。如果能测得覆盖1m²面积纸面所需最低的油墨克数，其倒数可做为ａ，这就是求ａ的实验方法。还有一种求ａ的简便方法，就是作出油墨转移系数曲线e^-x，参看图4-1(c)，找到e最大值e_max和e_max所对应的印版墨量x_a，代入下式计算a：
a=(e_max+1）/(e_max·x_a)　　(4-33)
实验和计算表明，对于大多数品类的纸张，包括某些塑料薄膜，上述两种方法求得的a值相差不大；a的数值大致在0.2～1的范围。至于更加严格、精确的给参数ａ赋值的方法，这里就不做深入介绍了。

　　修正过的W·F油墨转移方程(4-32)与原方程比较，只是用(ａx)2代替了ｋx。如果以(ｍx)ｎ(ｍ为类似于ｋ或ａ的方程参数，ｎ为可选择的正实数)代替ｋx，则有用指数形式表达的F(x)
F(x)＝1－e^－（mx）n　　　　　　　　　　（４-３４)
和用指数形式修正的W·F油墨转移方程

　　y(x)=[1-e^－（mx）n]{b-(1-e^-x/b+f[x-b(1-e^-x/b)]}　　(4-35)

　　显然，当m＝k、n＝1时，方程(4-35)即方程（4-15）；而当m＝a、n＝２时，方程(4-35)即方程(4-32)。有资料说，当n＝1.5时所得方程要比方程(4-15)和方程(4-33)有更高的精确度。

二、对F(x)的概率分布修正法

　　以上的讨论中，都认定F(x)为x的确定函数，然而，由于纸张表面状况，特别是凸凹分布是随机的，致使纸张单位面积接触油墨的规律也是随机的，即F(x)与x成随机关系。


图4-11　对数概率坐标系中的F-x关系曲线

　　以某种胶版纸为例，实测的x和F(x)数据列在表4-7中，用这些数据在对数概率坐标系中拟合出F-x曲线，如图4-11所示，可以看出，F(x)与x在对数概率坐标中，有很好的线性关系。对于其它品类的纸张，实验结果也基本符合上述的结论，这就表明，F(x)概率分布满足正态分布的规律，即F(x)与x满足下列关系式
F（lgx)=(1/(2π）^1/2σ∫_-∞^lgxe^{-(lgx-μ)2/2σ2}d(lgx)　　(4-36)

　　或者改变(4-36)式中变量，得到等价的正态分布函数
F(x)=lge(2π）^1/2σ∫₀^x(1/x)e^{-(lgx-μ)2/2σ2}dx　　(4-37)

　　以上两式中，μ是随机变量lgx或x的数学期望，是随机变量lgx或x的均方差。用(4-37)代替(4-15)式中的F(x)＝1－e^kx，便得到将F(x)按概率分布规律修正过的W·F油墨转移方程

　　y(x)=[lge(2π）^1/2σ∫₀^x(1/x)e^{-(lgx-μ)2/2σ2}dx]·{b-(1-e^-x/b+f[x-b(1-e^-x/b)]}　　(4-38)

　　作为方程(4-38)参数的μ和σ，可按概率中的方法确定。在对数概率坐标系中，F(x)＝0.5所对应的x为x_μ，lgx_μ即数学期望μ；而F(x)＝0.8134所对应的x为x_σ，lgx_σ等于数学期望μ加上均方差σ，因而有
μ＝lgx_μ　　　　　　　　　　(4-39)

σ=lgx_σ-μ=lgx_σ-lgσ_μ=lg(x_σ/σ_μ）　　　　　　　　(4-40)

　　为明确参数μ和σ的物理意义，作如下的解析变换。直角坐标系中F-x曲线如图4-12所示。计算图中F-x曲线与F(x)＝１直线所围的面积α
α=∫₀^∞[1-F(x)]dx
={x·[1-F（x)]}₀^∞+∫₀^∞xdF(x)
=∫₀^∞xF(x)dx

注意到
F(x)=f(x)·dx=[(lge/(2π）^1/2σx)e^{-(lgx-μ)₂/2σ₂}]·dx
f(x)是x的概率密度函数，代入后积分，得
α=∫₀^∞x[(lge/(2π）^1/2σ·x)e^{-(lgx-μ)₂/2σ₂}]·dx

=∫₀^∞x[(lge/(2π）^1/2σ)e^{-(lgx-μ)₂/2σ₂}]·dx

e^{μ/lge+(1/2)(σ/lge)2}
　　(4-41)
表4-7　一种胶版纸的x与F实测数据

x(μｍ)	0.36	0.39	0.66	0.78	1.38	1.69	2.34	2.98	3.32	4.45	5.15	5.77
F	0.020	0.065	0.081	0.199	0.426	0.549	0.811	0.865	0.928	0.958	0.977	0.972

图4-12　直角坐标系中的F(x)-x曲线

　　(4-41)式表明，参数α是μ和σ的函数，在油墨转移过程中，α综合了μ和σ所起的作用，但α的物理意义很明确。图4-12中，α代表阴影区的面积，这个面积愈小，则F-x曲线愈陡，即F-x曲线愈靠近F(x)轴，因而对应用一个x的F(x)愈小；反之，这个面积愈小，则对应一个x的F(x)愈大。因此，α可用以衡量印刷过程中油墨对纸张覆盖的困难程度，叫油墨覆盖阻值，单位与墨量相同。纸张的印刷平滑度ｋ，是在假定F(x)＝1-e^－kx的前提下，给油墨转移方程赋值时推导出来的，油墨覆盖阻值α，是在考虑F(x)概率分布的条件下，给油墨转移方程赋值中演绎出来的。由于把F(x)看作正态分布的随机函数要比把F(x)看作指数形式的确定函数更接近于实际情况，所以用α衡量纸张的印刷平滑度要比用k更加准确和实用。

　　〔例题4-2〕试依据表4-7提供的x和F的数据，图4-11给出的F-x曲线，求方程(4-38)的参数μ、σ和α。

　　解：图4-11给出的对数概率坐标系中的F-x拟合曲线是一条直线；找出该直线上与F（x）＝0.5对应的X_μ＝1.42，与F(x)＝0.8134对应的x_σ＝2.78，将x_μ、x_α代入(4-39)式和(4-40)式，算出μ和σ，再将μ、σ值代入(4-41)式，计算α。

μ=lgx_μ=lg1.42=0.152

σ=lg(x_σ/x_μ)=lg(2.78/1.42)=0.292

α=e^{μ/lge+(1/2)(σ/lge)2}=1.96(μm)

[时间：2001-07-09  作者：冯瑞乾  来源：《印刷原理及工艺》·第四章　油墨转移方程]