第四章　油墨转移方程

第三节 W·F油墨转移方程参数的赋值方法

　　W·F油墨转移方程建立了转移墨量y与印版墨量x的解析关系，而且是比较简单的代数关系。但在方程中出现了b、f′、k三个参数，因此，方程的求，实质上就是设法对参数b、f′、k进行赋值，而在介绍赋值b、f′、k的方法之前，有必要了解b、f′、k的物理意义。

一、参数b、f′、k及其影响因素

　　参数b是纸张(或其它承印材料)表面凹陷处在印刷瞬间可能填入的极值墨量，此时，由于压印时间极短，油墨还来不及渗入纸张的毛细管内。影响b值大小的因素，在纸张方面，主要是纸张表面的凹孔几率，凹孔的几率愈高，b值愈大；在油墨方面，主要是油墨连结料的粘度，连结料粘度愈大，b值愈小；在印刷条件方面，印刷压力愈大、印刷速度愈低，则b值愈大。在纸张、油墨和印刷条件一定的情况下，b值也唯一确定。但要求印版墨量x足够大。按(4-14)式，印刷过程中实际填入纸面凹陷处的墨量可写作
　　h＝b·Φ(x)＝b（1－e^－x/b）　　　　　　　（4－16）

　　可见，当b一定时，x→∞，则h＝b，即在极值填入墨量一定的条件下，若印版墨量足够大，则可认为实际填入墨量就等于极值填入墨量。

　　参数f′是自由墨量分裂率。自由墨量等于从印版墨量x中减去由“机械投锚效应”而填入纸张凹陷处的实际墨量b·Φ(x)，即x-b·Φ(x)。当印版墨量x很充足时，由于x相当大，(4-15)式可近似地用下式替代
　　y＝f′x＋b（1－f′）　　　　　　　　　　　　（4－17）

　　用x遍除(4-17)式各项，注意到：y/x=f+b(1-f)/x远小于f′，得
f=y/x=fx/x+b(1-f)/x≈f　　　　　　　　　　　　(4-18)

　　即在印版墨量很充足时，自由墨量分裂率近似等于油墨转移率。影响f′值大小的主要因素是油墨流变特性。图4-5的曲线由实验得到，分别表示f′与油墨连结料粘度η。油墨塑性粘度η_p、油墨屈服值τ₀和油墨拉丝短度τ₀/η_p的关系。此外，f′还与油墨连结料的分裂率f_v和油墨中颜料与连结料的体积比φ₀有关，有计算f′的经验公式：
f=f_v-(τ₀/η₀·t·10[c₁(lgη_p-lgη₀)/φ₀lgη_p+c₂]　　　　　　　　　　　　
(4-19)

　　式中，t＝1s，c₁＝－0.624，c₂＝－1.240。f还与纸张的表面性能和印刷速度有关，纸张表面粗糙、吸收性强，f′值有变小的趋势；印刷速度愈低，自由墨膜的分裂部位愈是接近墨膜的中间，f′值愈是接近于0.5。

　　在印版墨量x一定的条件下， 参数k决定了单位面积纸面上接触油墨面积所占的比率，因而间接地表示了印刷中墨膜与纸面接触的平服程度。这从(4-11)式中可以看出，在F(x)＝1－ｅkx中，当x一定时，k值愈大，F(x)愈接近1。影响k值大小的因素很多，在纸张方面，纸张平滑度愈高，质地愈是柔软，k值愈大；在印刷条件方面，印刷压力愈大，印刷速度愈低，k值愈大；油墨对k值的影响比纸张小，油墨稀薄，k值有增大的趋势。总之，一切使纸张与油墨接触机会增加、接触时间增大的因素，都会使k值有增大的趋势。由于k值反映了多种因素对印刷过程中纸张与油墨接触状况的影响，用k值评价印刷中纸张的平滑度更全面、更符合实际，所以k值也被用来评价纸张的印刷平滑度。


图4-5 f′与油墨流变特性的关系曲线

　　以上介绍了参数b、f′、k的意义及其影响因素。为了求解W·F油墨转移方程，实质上即是寻找参数b、f′、k的赋值方法。b、f′、k赋值精确性与W·F油墨转移方程描写油墨转移数量关系的准确性同等重要。b、f′、k赋值方法有两类，一类是通过简化方程等方法赋值的近似法，另一类是应用计算数学方法进行赋值的较为精确的方法。无论用哪种方法，b、f′、k的赋值都要用到x、y的实验数据，因此，参数赋值的精度，从根本上讲，要由实验的设计、实施与建立W·F油墨转移方程所依据的数学模型的符合程度，以及实验精度来决定。

二、参数b、f′、k赋值的近似方法

　　W·F油墨转移方程y(x)=(1-e^-kx）{b(1-e^-x/b)+f[x-b(1+e^-x/b)]}是个代数方程。在印版墨量十分充足的情况下，即在(4-15)式x中足够大的条件下，若b和k都是有限值，则e^－kx和e^－x/b两项都非常小。如果忽略(4-15)式中e^－kx和e^－xb，使很容易地得到了线性化的油墨转移方程
y（x）＝f′x＋b（1－f′）　　　　　（４－２０）
(4-20)式表明，在印版墨量相当大的部分，油墨转移曲线近似地成直线状态，这与实验结果是比较符合的。如果能设法找到这条直线，得到斜率tgθ和截距I(参看图4-6)，对照(4-20)式，可得b与f′：
b=I/1-tgθ　　　　　　　　(4-21)

f′＝tgθ　　　　　　　　(4-22)
若给定一组x、y，求得b、f′之后，便可由(4-15)式解得k：
k=(-2.303/x)lg{1-y/{b(1-e^-x/b+f[x-b(1-e^-x/b]}}　　　　　　　　　　(4-23)
为了提高赋值精度，可以选择若干组x、y值的实验数据，代入(4-23)式求得若干个k后，再求平均值。
表4-2 印版墨量x和转移墨量y

序号		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
墨量	x(g/m2)	0.300	0.545	0.792	0.985	1.260	1.545	2.120	3.220	5.680	9.050	12.250
	y(g/m2)	0.103	0.270	0.441	0.561	0.736	0.894	1.200	1.720	0.810	4.300	5.700

　　〔例题4-1〕实测的印版墨量x和转移墨量y的数据如表4-2所列。试依据表中所给数据，用线性油墨转移方程的方法，给参数b、f′、k赋值。

　　解：如果依据表中所给数据拟合出油墨转移曲线如图4-7所示，则从中可以看出，在第8组x、y数据之后，y-x曲线很接近于一条直线了。以表中第10、11组x、y数据列直线方程，则有
　　(y-4.30)/(x-9.05)=(5.70-4.30)/(12.25-9.05)

　　即
y＝0.44x＋0.34

　　直线的斜率为tgθ＝0.44，θ＝23°48′，截距I＝0.34。代入(4-21)及(4-22)式得
f′＝0.44

　　如果以所得的b、f′数据和表4-2中的前3组x、y数据代入(4-23)式，可算得k₁、k₂、k₃三个数据，取k₁、k₂、k₃的平均值表示参数k
k=(k₁+k₂+k₃)/3=(1.55+1.83+1.72)/3=1.70(m²/g)

　　从上例中可以看到，在应用线性化油墨转移方程给b、f′、k赋值的近似方法中，参数k的赋值精度，于参数b、f′赋值精度和x、y实验数据的选择；而参数b、f′的赋值精度又取决于油墨转移方程线性化的近似程度。当然，从根本上说，b、f′、k的赋值精确取决于测定x、y的实验在多大程度上与描述油墨转移方程的数学模型相符合和测定x、y的实验有多高的精度。


图4-6　线性化的油墨转移曲线


图4-7　油墨转移量曲线


图4-8　近似法程序框图

　　计算k值时，往往取印版墨量x较小的x、y实验数据，这是因为，作为表示印刷平滑度的参数k，对于平滑度不同的纸张，只有在印版墨量较小时才有明显的差别。至于油墨转移方程线性化的近似程度，则明显地取决于线性化的方法。应用一元线性回旭分析的方法，得到的线性化油墨转移方程有很好的近似程度。

　　应用一元线性回归分析方法建立直线方程的过程中，选择印版墨量x的初始值很重要，通常是将小墨量范围内的点忽略掉，以保证回归方程在大墨量范围内是直线。经验表明，印版墨量x的回归起始值，以铜版纸3μｍ、胶版纸10μｍ、新闻纸12μｍ为宜。这种方法的程序框图如图4-8所示，回归方程的相关系数R愈接近于1，回归方程愈接近于直线。

　　图4-9是用实验数据拟合的三种纸张的油墨转移量曲线，实验是在AIC 2-5型印刷试验机上的。用近似法所得三种纸张的b、f′、k、R值，用(4-15)式计算所得y计值，实验所得墨量值x实、y实以及y计与y实的误差Δy，分别列入表4-3和表4-4中。

　　从表中可以看到，铜版纸和新闻版，当印版墨量较大时，误差很小，墨量很小时，误差较大；而胶版纸，不拘墨量大小，误差都很大。

　　参数b、f′、k的近似赋值方法，还有经验公式法、三角形法心法等，可参阅有关资料。
表4-3　近似法赋值的b、f′、k、R值

参数		定量(g/m2)	平滑度(ｓ)	b(μｍ)	f′	k	R
纸类	山东铜版纸	80	610.56	1.0315	0.3023	0.8986	0.9975
	加拿大新闻纸	52	51.89	4.2089	0.2129	0.3679	0.9992
	金城胶版纸	70	90.86	3.9386	0.2437	0.2684	0.9894

表4-4　墨量x实、y实、y计、Δy数据

纸类	墨量	参数
		x实(μｍ)	y实(μｍ)	y计μｍ)	Δy(%)
山东铜版纸	小	1.0736	0.5621	0.4890	12.90
	中	9.0352	3.5534	3.4499	2.91
	大	15.5876	5.4494	5.4319	0.32
加拿大新闻纸	小	0.8822	0.2006	0.2256	12.45
	中	8.6431	4.6884	4.5315	3.34
	大	23.6390	8.4731	8.3380	1.59
金城胶版纸	小	0.9940	0.1317	0.2123	61.19
	中	9.9465	5.5001	4.8072	12.59
	大	28.0550	8.4424	9.8104	16.20

三、参数b、f′、k赋值的数值方法

　　对于W·F油墨转移方程这样的非线性代数方程，不管方程中有多少个，求解的方法大都是运用非线性规划理论，通过迭代计算，得到参数值。这种给方程参数赋值的方法相当准确。对W·F油墨转移方程来说，只要测定x、y的实验数据，在设计与实施上符合建立方程的数学模型，又有足够的实验精度，b、f′、k的赋值精度，对于各种承印材料都有令人满意的结果。但这种方法要用到优化法等专门理论，编制计算程序也比较繁难。下面介绍一种概念清晰、方法简明的b、f′、k赋值的数值方法。

　　为了叙述方便，将油墨转移方程写成y＝Φ(x)的形式。函数y＝Φ(x)中含有b、f′、k三个待定参数，给定一组参数值，便有一个确定的函数y＝Φ(x)与之对应，因而y＝Φ(x)实际上是一个函数簇。

　　对于一组给定的实验数据(x_i，y_i)(i＝1，2，……，m)，要确定b、f′、k的值，即是在函数簇y＝Φ(x)中选定一个与之符合得最好的函数φ*(x)。而按最小二乘法，则要求：对应于实验数据x_i的选定函数φ^*(x_i)与实验数据y_i之差的平方和，应当是函数簇y＝Φ(x)中最小的，即
∑[φ^*(x_i）-y_i]²=F(b、f、k）　　(4-24)
式中，φ（x_i）为对应于x_i的φ（x）值，而φ（x）为函数簇y＝Φ（x）中的任一个函数；不等式的右边则是一个关于参数b、f′、k的函数，记作H(b，f′，k)。

　　H(b，f′，k)是一个非负的函数，最小的可能值为零；而H(b，f′，k)接近零的程度，则反映了选定函数φ^*（x_i）与实验数据y_i符合的程度，也就是说，函数H(b，f′，k)愈接近于零，相应的变量b，f′，k愈接近于选定函数φ^*（x）所对应的参数b^*，f^*，k^*，或者用数学的语言表达为：如果有一组变量值(b^*，f^*，k^*)，使得函数值H(b^*，f^*，k^*)＜ε(ε为一小正数)成立，则(b^*，f^*，k^*)即是满足精度为ε，对应于实验数据(x_i，y_i)(i＝1，2，……，m)的油墨转移方程的参数值。

　　从某一组给定的初始值(b(0)，f(0)，k(0))开始，如果能够保证在以后的每一小诸中，对应于计算值〔b(j+1)，f(j+1)，k(j+1)〕的函数值H〔b(j+1)，f(j+1)，k(j+1)〕，都小于前一步计算的函数值F〔b(j)，f(j)，k(j)〕，经过足够次数的迭代运算，便可找到满足F(b^*，f^*，k^*)＜ε的解(b^*，f^*，k^*)了。为此，对b，f，k构造如下的函数
b^(j+1)=b^(j)-λ_j(dH/db)_j　　　　　　

f^(j+1)=f^(j)-λ_j(dH/df)_j　　(4-25)

k^(j+1)=k^(j)-λ_j(dH/dk)_j　　　　　　

　　式中，(dH/db)_j、(dH/db)_j、(dH/db)_k分别表示在〔b(j)，f(j)，k(j)〕处H对(b、f、k)的偏导数值，且因为H(b、f、k)为增函数，(dH/db)_j、(dH/db)_j、(dH/db)_k均大于零；而λ_j是第j次运算的一个步长控制量，用以控制迭代运算的收敛速度，λ_j可取下式
λ_j=q·F[b^(j),f^(j),k^(j)]/
[(dH/db)²_j+(dH/df)²_j+(dH/dk)²_j)　　(4-26)
式中，q为经验常数，可取0.1。

　　这样，只要用差商替代偏微分，就可以编制程序，计算(b^*，f^*，k^*)了。实验、理论分析和计算表明，(b^*，f^*，k^*)的唯一性问题不致影响这种方法的运作；而精度控制量ε，在实验数据x_i、y_i并不理想的情况下，不能取值过小，否则，迭代运算不能收敛。一旦ε取值过小，可设法控制迭代次数，以迭代过程中的最小f值(记作H_min)所对应的(b，f，k)值(记作b^＃，f^＃，k^＃）作为(b^*，f^*，k^*)。


图4-10　微分迭代法程序框图

　　综上得参数b、f′、k赋值的数值迭代法步骤如下：

　　①给(b，f′，k)赋初始值［b⁽⁰⁾，f⁽⁰⁾，k⁽⁰⁾］；给定赋值精度控制量ε。

　　②计算函数H(b，f′，k)在点［b^(j)，f^(j)，k^(j)］处的值F［b(j)，f(j)，k(j)］。

　　③若有H［b^(j)，f^(j)，k^(j)］＜ε，则［b^(j)，f^(j)，k^(j)］即为所求，否则，按下式计算F在点〔b^(j)，f^(j)，k^(j)〕处的偏导数：
(dH/db)_j={H[b^(j)+p_b,f^(j),k^(j)]-H[b^(j)，f^(j)，k^(j)]}·(1/p_b)

(dH/df)_j={H[b^(j)f_(j)+p_f,k^(j)]-H[b^(j)，f^(j)，k^(j)]}·(1/p_f)

(dH/dk)_j={H[b^(j)f_(j)k^(j)+p_k]-H[b^(j)，f^(j)，k^(j)]}·(1/p_f
)
　　(4-27)

　　式中，P_b＝Cb_（j），P_f＝Cf_（j），P_k＝C_k（j），C为常数，可取一小量如10^-6，因而P_b、P_f、P_k为点〔b_（j），f_（j），k_（j）〕处的微小增量。

　　④按下式计算b_（j+1），f_（j+1），k_（j+1）：
b_（j+1）=b_（j）-λ_j(dH/db)

f_（j+1）=f_（j）-λ_j(dH/df)

k_（j+1）=k_（j）-λ_j(dH/dk)
　　(4-28)

　　式中λ_j按(4-26)式计算。
表4-5　微分迭代法赋值的b、f、k、Vｍｉｎ值

纸张产地	纸张类别	纸张定量(g/m20	纸张平滑度(ms)	实验温度(℃)	环境湿度(RH)	b值(g/m2)	f值	k值	Vmin值
日本	铜版纸	150	215.2	18.5	56%	0.4819	0.3779	0.6205	0.0040
日本	铜版纸	128	370.0	18.0	61%	0.3683	0.4121	0.9260	0.0030
岳阳	凸版纸	52	31.4	19.0	57%	0.0006	0.5409	0.3362	0.0411
日本	胶版纸	150	38.1	22.0	59%	1.3709	0.4665	0.4721	0.0348
山东	胶版纸	150	54.4	18.0	56%	1.523	0.3740	0.5024	0.0638
金城	胶版纸	80	90.7	18.5	63%	0.0070	0.4666	1.2070	0.0090
石岘	新闻纸		31.4	26.0	70%	4.1260	0.3343	0.3026	0.0071
加拿大	新闻纸		43.5	24.5	74%	0.3519	0.4091	0.3519	0.0041

表4-6　墨量x实、y实、y计、Δy数值

纸张	变量	序号1	序号2	序号3	序号4	序号5	序号6	序号7	序号8
日本150g/m2铜版纸	x实	0.5347	0.8139	2.3960	3.4086	4.5348	5.5696	7.4497	11.1297
	y实	0.0971	0.1729	1.0802	0.8343	2.5571	3.3129	4.5001	6.2557
	y计	0.0917	0.1979	1.1763	1.9180	2.7256	3.4201	4.5575	6.4386
	Δy	5.6	14	8.9	4.6	6.6	3.2	1.3	6.6
加拿大新闻纸	x实	0.1956	1.3123	1.6215	6.0773	2.8313	3.3282	4.7651	6.7289
	y实	0.0214	0.4001	0.6356	0.874.	1.1328	1.3173	2.0730	2.7844
	y计	0.0224	0.4599	0.6069	0.8264	1.1903	1.4252	2.0766	2.9106
	Δy	4.7	15	4.5	5.4	5.1	8.2	0.2	4.5

　　⑤重复从②开始的计算步骤，直到得到满足赋值精度ε的(b^*，f^*，k^*)值，或具有相当高的赋值精度的(b^＃，f^＃，k^＃)值。

　　这种数值方法的计算程序框图如图4-10所示。

　　用微分迭代法所得8种纸张的b、f、k、V_min值，用(4-15)式计算的两种纸张的y_计值，实验所得墨量值x_实、y_实以y_计及y_实与误差Δy，分别列入表4-5和表4-6中。

　　实验和计算表明，数值法与近似法，在转移墨量误差适应性上，都差不多。

[时间：2001-07-09  作者：冯瑞乾  来源：《印刷原理及工艺》·第四章　油墨转移方程]