第二章　印刷压力

第二节　印刷压力的计算

　　压印体(特别是压印体的表层)的材料性能十分复杂，印刷过程中，压印体又都处在运动状态下，使得压印面的爱劝告分析相当困难。为了对压印面的压力分布情形有个总体的认识，下面介绍两种近似的处理方法。

一、弹性体接触压力的赫芝理论

　　作为一种近似的处理方法，将压印体看成是理想的弹性体，则压印面的印刷压力即是弹性体接触面上的接触压力。

　　按弹性力学中的赫芝理论，如果有两个轴线平行的弹性圆柱体相互挤压而无摩擦，关于圆柱体接触面的形状和接触面上接触压力的分布，有如下的结论：接触面的形状有一个矩形平面，矩形的长等于弹性圆柱体的长度L，接触面的长度b按下式计算
　　b=2((1/π）·（（m²₁-1)/m²₁·E₁+（m²₂-1)/m²₂·E₂)·（p_s/L）·（R₁·R₂/（R₁+R₂）））^1/2　　　　　(2-6)

　　式中，R₁、R₂分别是两个圆柱体的半径，E₁、E₂分别是两个圆柱体的材料拉伸弹性模量，m₁、m₂分别是两个圆柱体的材料泊松比的倒数，p_ｓ是使两圆柱体挤压的径向力p₁或p₂的大小，参见图2-3(ａ)。

　　接触面(矩形ABCD)上接触压力的分布呈半圆柱形，即接触压力沿矩形面的长度方向没有变化，而沿矩形面的宽度方向呈半圆形变化规律，如图2-3(b)所示。沿接触面宽度方向， 接触压力在宽度的两端为零，而在宽度的中点取得最大值p_max，如以S表示接触面的面积，S＝ｂ·L，以p_cp和p_s表示接触面的平均压力和总压力，则有
p_cp=p_s/S=p_s/b·L　　　　　(2-7)

　　由于p_s等于p_cp在S上的积分，而
p_cp=(p²_max-x²)^1/2

有
p_s=∫_sp_cpdS=∫^b/2_-b/2p_cp·Ldx=∫^b/2_-b/2(p²_max-x²)^1/2·Ldx=(π/4)·b·L·p_cp

即
p_max=4p_sπ·b·L=(4/π）p_cp　　　　　(2-8)
(2-7)式和(2-8)式中的ｂ按(2-6)式计算。


图2-3　弹性圆柱体挤压的接触面和接触压力

　　应该强调的是，要得到上述结论有两个重要的条件：一是两个圆柱体只在p₁、p₂的作用下发生挤压，因此，这里的接触压力是静压力；二是两个圆柱体都必须是理想的弹性体。即各向同性的线弹性体，弹性模量和泊松比均为确定的常数。

　　以圆压圆式凸版印刷机为例，压印滚筒相当于圆柱体O₁，印版滚筒相当于圆柱体O₂，两个滚筒合压而未运转相当于两个圆柱体在p₁、p₂作用下发生挤压。如果两个滚筒能够近似地看成理想的弹性体，则滚筒间的压印面即是圆柱体间的接触面，滚筒间的印刷压力即是圆柱体间的接触压力。

　　表层材料的材料性质，对接触压力的影响占主导地位。压印滚筒表层的变形集中于包衬，其弹性模量E₁很小；印版滚筒表层的变形集中于印版，其弹性模量E2较大，即E₂≥E₁。但是，组成包衬的衬垫材料和印版材料的泊松比在一个数量级上，数值相差不太大，即可以近似地认为m₁与m₂相等，于是，对(2-6)式中的二项有
（m²₁-1)/m²₁·E₁＞＞
（m²₂-1)/m²₂·E₂
如忽略该式中的（m²₂-1)/m²₂·E₂，在压印滚筒与印版滚筒半径相等(R₁＝R₂＝R)的情形下，则有
　　b=2((1/π）·（m²₁-1)/m²₁·E₁·（p_s/L）·R）^1/2　　　　　(2-9)

　　至于压印面上的压力分布，仍为半圆柱体；压印面上的平均压力p_cp及最大压力p_max，仍按(2-7)式和(2-8)计算。

　　(2-9)式表明，在总压力p_s和滚筒尺寸L和R一定的情况下，压印区的宽度ｂ(以及平均压力p_cp和最大压力p_max)，主要取决于压印滚筒包衬的材料性质，即取决于它的弹性模量和泊松比。

　　对圆压平式印刷，只须令印版滚筒的R²趋于无穷大，改变(2-9)式得
　　b=2((1/π）·（m²₁-1)/m²₁·E₁·（p_s/L）·R¹）^1/2　　　　　(2-10)

二、印刷压力计算的经验方法

　　以圆压圆凸版印刷机为例，压印滚筒与印版滚筒合压时，产生变形的主要是压印滚筒的包衬。于是，可以近似地把压印滚筒看成是弹性体，把印版滚筒看成刚体。经验表明，压印面大致成　形，压印面上一个点(x，y)的压力p^d有如下近似公式(参看图2-4)。
p_d=(E·(λ_xy/δ))^1/n　　(2-11)

　　式中，E、δ、λ_xy分别是包衬的弹性模量、厚度和点(x，y)的压缩变形量，ｎ是一个与包守材料性质有关的经验常数。经验表明，包衬压缩量λ在压印面上的分布规律大致是：沿宽度方向，中点最大，两端为零；沿长度方向，两端最大，中点最小。相应地，印刷压力p_d在压印面上的分布，也有类似的规律，即在整个压印面上，p_d的分布有如一个马鞍形，如图2-4所示。


图2-4　印刷压力的近似分布规律

　　如能计算出或测定出λ值，代入(2-11)，便可得到p_d。但是，与压印面上各点的压力F_d相比，工艺实践中更关心压印面上压力的最大值p_max，平均值p_cp和总压力p_s。在以后的章节中p_max简写成p。

　　静态下，压印面上的最大压力p，在压印面两端的中点O和O₁处取得，按(2-11)式，有
p_d=(E·(λ/δ))^1/n　　(2-12)
式中λ是此处的包衬压缩变形量。

　　下面推导静态主印面两端沿x变化的压力p_x，以及在此压印宽度上的平均压力p_x(b)，为此，先来计算ｘ处的包衬压缩变形量λ_x。参看图2-5，为简单计，假定两滚筒的压缩量相等，容易推出λ_x为
λ_x=(b²/8)·(R₁+R₂/（R₁·R₂）　　(2-13)
及
λ_x=(R₁²-x²)^1/2
+(R₂²-x²)^1/2-d
将上式中的根式展成台劳级数，取前两项，注意到R₁+R₂-d＝λ，有
λ_x=(1-(2x/b)²)λ　　(2-14)

　　将(2-14)式代入(2-11)式，注意到(2-12)式，可以得到p_x。
p_x=(E·（λ/δ）(1-(2x/b)²)）^1/n=
(1-(2x/b)²)）^1/n·p_max=
(1-4x²/nb²)p　　(2-15)
上式的最后表达式是前一表达式展成级数取前两项的结果。进而容易得到p_c(b)
p_c(b)=(1/b)∫^b/2_-b/2 p_x·dx=
(1/b)∫^b/2_-b/2 (1-4x²/nb²)p·dx=
(1-1/3n)p　　(2-16)

　　在沿y轴的压印线上，y＝0及y＝L处，p_o,L＝p；在y＝L／2处，p_L/2＝p_min。假定沿此压印线，压力分布呈线性规律，则容易求得任何y处的压力p_ymax；若进一步假定在y处的压印宽度上的压力分布规律，与y＝0或y＝L处压印宽度上压力分布规律相同，则只需以p_ymax取代(2-15)式中p，即可得到压印面上任一点(x，y)的压力。


图2-5　λｘ与b、λ、ｘ的几何关系


图2-6　压力p在b上的分布

　　沿y轴的压印线，长L上的平均压力p_c(L)可取p与p_min的算术平均值，即
p_c(L)=(1/2)(p+p_min)=(1/2)(1+q)p_min　　(2-17)
式中，q＝p／p_min是与印刷方式与印版特征有关的经验常数。p_min是压力分布马鞍形纵向对称面上的最小值，又是横向对称面上的最大值，实践证明，p_min是保证印刷顺利进行的重要参数为工艺所需印刷压力。

　　当p_max取值p_c(L))时，由(2-16)式和(2-17)式得到压印面上的平均压力p_c(s)。
p_c(s)=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))p_min　　(2-18)
由此不难得到压印面上的总压力pｓ和线压力pL
p_s=p_c(s)·b·L=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·L·
p_min　　(2-19)

p_L=p/L=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·p_min　　(2-20)
式中的经验常数n和q、工艺所需印刷压力p_min可查阅有关资料，n一般取0.4～0.6，q一般取1.5～2.5，p_min约在1～8×10⁶Pa之间。如取ｎ＝0.5，q＝2，则(2-19)式、(2-20)式可简化为
p_s=(1/2)·b·L·p_min　　(2-21)

p_L=(1/2)·b·p_min　　(2-22)

　　应当指出，压印面为矩形只是个近似的结果，实际的形状是两端较宽中间较窄的纺锤形；再有，以上结果都没有考虑滚筒运转中的摩擦，是静压力，如考虑到滚筒间的摩擦及弹性包衬的挤压，沿压印面宽度方向的压力分布并不对称，峰值要向滚筒拖梢方向偏移，如图2-6所示。

　　〔例题2-1〕已知印刷包衬的厚度δ＝2.0mm，弹性横量E＝1.62×10⁶Pa，经验常数n＝0.45，用于圆压圆式凸版印刷机中，最大压缩量λ＝0.3mm。试求压印面上的最大压力。

　　解　将弹性模量E换算成工程单位kgf/cm²
E=1.62×10⁶Pa×(1/9.8×10⁴)=16.53(kgf/cm²)

　　由(2-12)式得
p_max=(E·(λ_m/δ))^1/n
(16.53×16.53×(0.3/2))^0.45=7.23(kgf/cm²)


　　〔例题2-2〕某实地印版长为260mm，宽为200mm，工艺所需印刷压力p_min=4.90×10⁶Pa，包衬最大压缩量λ=0.3mm，用凸版印刷机印刷，印刷机的压印滚筒和印版滚筒半径分别为R₁=180mm，R₂=90mm，经验常数分别为n=0.45，q=1.70。试求压印面宽度和机器所需的总压力。

　　解：由(2-13)式得
b=2(2·R₁·R₂·λ/（R₁+R₂）
=2×（2×（18×9/（18+9））×0.03=1.2(cm)

　　由(2-19)式得

　　p_s=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·L·p_min

　　　=(1/2)(1+1.7)×(1-(1/3×0.45))×0.012×0.26×4.9×10⁶
=5366(N)

[时间：2001-07-09  作者：冯瑞乾  来源：《印刷原理及工艺》·第二章　印刷压力]